こんにちは！管理人のMです。
今回は等差数列の2回目ということで、等差数列の和の公式を扱っていきます。
等差数列①の授業編を読んでいない方はそちら読んでからこちらを読むことをオススメします。
公式となると、「よし、絶対暗記してやるぜ」って言って覚えるために何回もノートに頑張って書きだす人いるんですけど、そんなことはしなくていいです。
ここに限った話ではないですが、公式はそのものを覚えるのではなく、導出の方法を覚えておく方が圧倒的に楽ですよ。
前置きはこのくらいにして授業編はじめていきましょう！
等差数列の和
突然ですが、ガウスという天才数学者がいたんですが、こんな逸話があります。
彼は小学生の時に先生から1+2+3+・・・+100を求めてと言われて、即座に5050と回答したそうです。
このとき彼が頭の中の考え方がまさしく等差数列の和の考え方だったんですね。
それでは天才ガウスの頭の中を覗いてみましょう。
1から100までの自然数の和をSとすると、
足す順番を逆にしても和は同じなので、
この二つの式の両辺を足すと、あることに気づきます。
各項の和（赤枠部分の和）を見てみると、すべて101になっていることがわかります。
上は一定の数で増えていく等差数列
下は一定の数で減っていく等差数列なので、
各項の和は増加分と減少分が相殺されて一定の値になるのです。
各項の和が101で、それが100個あるので、
となり、Sを求めると、
となります。
これを計算すると、5050と求められますね。
さあ、1から100の和が求まられたところで、先ほどの式をもう少し詳しく見てみましょう。
101という部分は、初項1＋末項100で、100は項数でしたね。
したがって、初項a、末項l、項数nとすると、
と一般化できました。これが等差数列の和の公式①です。
さらに細かく見ていきましょう。
末項lとは最後の項なので、1からn項までの和となると、最後の項は第n項ですよね。
末項lに等差数列の第n項(=一般項)を代入すると、
となります。これが等差数列の和の公式②です。
公式①と②はどちらも同じく等差数列の和の公式です。
問題によって使い分けれてられるようにしてください。
初項と末項と項数が与えられる場合は公式①、初項と公差と項数が与えられる場合は公式②でやると楽ですよ。
等差数列の和と一般項
等差数列の和がわかっているとき、一般項を求めることができます。
初項から第n項までの和をSnとすると、
と書けます。
さらに第n-1項までの和も式で表現します。
この式の両辺で引き算をします。
すると、初項から第n-1項までの和を綺麗に消せて一般項が求められます。（赤枠の部分が打ち消しあいます。）
ただし、注意点が一つあります。
n=1の場合、第n-1項って第0項となりますよね？
第0項は存在しないので、第0項までの和も存在しません。
よってn=1の場合は、第n-1項までの和は0と考えられます。
したがって、
まとめ
演習編でお会いしましょう。
お疲れさまでした。