こんにちは。管理人のMです。
等差数列②の演習編です。授業編を読んでいない方はぜひ授業編を読んできてください。
演習問題
問１． 次の等差数列の和を求めよ。
(1) 初項-10、末項25、項数7
(2) 初項4、公差-2/3、項数12
問２．
ある等差数列の初項から第6項までの和が42、第4項から第15項までの和が336となるとき、
この等差数列の初項から第n項までの和を求めよ。
問３．
初項から第n項までの和がn^2-4n+3となる数列の一般項を求めよ。
問１ 解答と解説
(1)解答例です。
この問題は初項aと末項lと項数nが与えられているので、
で求められますね。
この公式は簡単に導けるので導出方法をしっかりと理解しておくようにしてください。
数学の公式は無理に暗記する必要はないですが、何問も解いているうちに嫌でも覚えてしまうくらいやりこんでください。
公式だけを積極的に覚えるのは推奨しませんが、問題を解いた結果覚えることは全く否定しませんし、むしろそうなってほしいと思っています。
(2)回答例です。
この問題は初項aと公差dと項数nが与えられているので、
で求められますね。
この公式も簡単に導けるので導出方法をしっかりと理解しておくようにしてください。
こっちも同じです。無意識に覚えてしまうくらいやりこんでください。
問２ 解答と解説
問２．
ある等差数列の初項から第6項までの和が42、第4項から第15項までの和が336となるとき、
この等差数列の初項から第n項までの和を求めよ。
まず、分かっている情報を整理していきましょう。
初項から第6項までの和が42、第4項から第15項までの和が336ということを式にします。
次にa1,a6,a4,a15というものを初項と公差で表します。
なぜこうするかというと、未知数の数を減らすためです。
今、式が①②の2つに対して未知数がa1,a6,a4,a15の4つあります。
未知数を求めるには求めたい未知数と同じ数の式が必要ですが、式が足りませんのでサポートが必要です。
a1,a6,a4,a15はすべて等差数列の項なので、初項と公差で表現できます。
そして初項と公差で表現できるということは、もともとa1,a6,a4,a15で4つだった未知数が初項と公差の2つになるということです。
そうしたら、Aを①、②に代入して連立方程式を立てていきましょう。
未知数2つで式2本なので、これは求めることができます。
連立方程式を解いてaとdを求められたら、和の公式に代入して終了です。
問３ 解答と解説
問３．
初項から第n項までの和がn^2-4n+3となる数列の一般項を求めよ。
和から一般項を求める問題です。
考え方は、第n-1項までの和に第n項を足すと第n項までの和になるという当たり前のことを利用します。
第n項までの和と第n-1項までの和をそれぞれ立式します。
一般項（＝第n項）は(第n項までの和)-(第n-1項までの和)で表せられます。
ただし、ここで重要なのは、n=1のときに第n-1項は存在しないので、n>=2という条件を付けること忘れないでください。
では、n=1のときはどうかというと、初項から第1項までの和は初項そのものなので、a1=S1が足り立ちます。
ちなみに③でn=1としたときに0にならないので、n=1とn>=2でそれぞれ答えがでましたが、代入して成立する場合もあるので、その場合はn>=2の条件が消えます。
以上で、等差数列②演習編は終わりです。
お疲れさまでした^^