【高校数学】等比数列①【授業編】

こんにちは。管理人のMです。
今回は等比数列①ということで、等比数列ってどんなものか、そして一般項の求め方をやっていきます。

さあ、やっていきましょう。

等比数列

等差数列が終わったと思ったらまた新しい数列が出てきたよ～。等比数列って何？？

そんなに心配することはないですよ。等差数列と似たようなものです。違いは言葉の通り「差」と「比」です。

等差数列が「差」が一定だったから、等比数列は「比」が一定ということ？

その通り！「比」一定。つまり一定の数をかけたら次の数にいけるということです。例えば次のようなものです。

これは前の数を2倍すると次の数になるという等比数列です。
初項と末項は等差数列と同じですが、等差数列の公差dにあたるものは公比rとなっています。

なるほどねー。これも等差数列と同じで規則性があるから、一般項とかあるのかな？

おっ！鋭いですね。その通りです。では続いて等比数列の一般項を考えていきましょう。

等比数列の一般項

ところで等差数列の一般項は覚えていますか？

当然！
だよね。

そうです。では、比較のために今回は等比数列の一般項を先に出してしまいます。

これが等比数列の一般項です。

等比数列はやっぱり初項に公比をかけていくんだね。でもn-1乗って少しややこしいな。この辺もう少し詳しく教えてよ。

もちろんそのつもりですよ。では、等比数列の一般項の成り立ちを説明します。

等比数列は下の図のように公比をかけたら次の数にいけるというものです。

ここで初項をa1、公比をrとしてみると、a1にrをかけると次の数（a2）にいけるので、

となります。

同様にa3はa2にrをかけるのですが、上の図をみるとa1にrを2回かけるとも考えられるので、

となります。

a1にrを1回かけるとa2になる、rを2回かけるとa3になるのです。
ということは、一般項となる第n項はrをn-1回かければいいことがわかります。
したがって、等比数列の一般項は

と表すことができます。

等比中項

＜例題１＞2,x,8がこの順に等比数列をなすとき、xの値を求めよ。

簡単じゃん。2⇒4⇒8で倍々になっていくんだから、答えは4だよ。

果たしてそうでしょうか？まあ解いてみましょうか。

等比数列といっているので、公比をrとおいて、それぞれの数の関係を考えてみましょう。

この連立方程式を代入法（①を②に代入）でrを求めて、ｘを求めていくのもいいですが、
今回は①÷②をしてみましょう。

左辺の分母と右辺の分母を消すために、両辺に8xをかけると、

これを解くと、

これが答えです。

-4もある点に注意してください。

そして、注目してほしいのが途中に出てきた

という部分です。

等比数列の真ん中の数の2乗が、前後の数の積になっています。
この真ん中の数を等比中項といいます。

最後に一般化した式での等比中項の考え方を説明しておきます。

まとめ

今回は等比数列の一般項と等比中項について説明しました。

公式を無理やり覚えると等差数列と混同してしまうこともあるかもしれません。

でも等差数列も等比数列も無理に公式を覚える必要はありません。
定義に従ってr倍、r倍と考えていけば、一般項を求めることができます。

公式を無理に覚える必要はありませんが、無意識に覚えてしまうくらい問題をやりこんでください。
演習編でお待ちしています。

お疲れさまでした。＾＾