【中学数学】三平方の定理【授業編】

こんにちは。管理人のMです。
今回は『三平方の定理』について説明していきます。

『三平方の定理』は別名『ピタゴラスの定理』とも言います。
カタカナにするだけで少しレベルが上がって難しい感じがするのは自分だけでしょうか？
でも大丈夫！！公式を一つ覚えるだけで全問解けますよ。

三平方の定理とは

さんへーほーのてーり？？

三平方の定理ですね。直角三角形の辺の長さの関係を示した式なんですが、少し言葉の意味を考えてみましょう。

まず平方は2乗という意味です。『三』平方なので3つの2乗の数の関係式ということです。

なるほど。３つの2乗の数があって、三角形の辺の長さの関係式か。ということは各辺の長さを2乗するのかな？？

鋭いですね。その通りです。では、実際に三角形を使って公式を説明していきます。

三角形の角の反対側にある辺を対辺と言います。
そして特に直角の対辺を斜辺を言います。
また、当然ですが、三角なので辺は3つあります。
三平方の定理とは、『斜辺の2乗が、その他の辺の2乗の和に等しくなる』というものです。

三平方の定理を問題を考える上で一つポイントがあります。
それは直角の位置を常に固定するクセをつけるということです。

上の図だと右下に置かれているね。でも何で固定する必要があるの？

実際は固定しなくてもいいんですが、この後に話をする有名角の直角三角形というのを考えるときに固定していた方がミスが減ると思います。また、高校で習うのですが、三角比・三角関数を考える上でも右下に直角を置くクセをつけておくことをオススメします。

ふーん。まあ了解っす！！

それでは、例題で三平方の定理を計算してみましょう！

＜例題１＞次のxとyを求めよ。

解答は最後にまとめています。

三平方の定理の逆

三平方の定理の逆？？逆ってどういうこと？？

直角三角形ならば三平方の定理が成り立つということを先ほど説明しました。逆ということは、三平方の定理が成り立つならばその三角形は直角三角形と言えるということですね。

なんだ。当たり前じゃん。

例題に入りますが、ポイントは『一番長い辺の2乗=その他の辺の2乗の和』が成り立つかどうかで考えて下さい。

＜例題２＞次のうち直角三角形であるものはどれか。

（１）　3辺の長さがそれぞれ4cm,6cm,9cmの三角形
（２）　3辺の長さがそれぞれ6cm,8cm,10cmの三角形
（３）　3辺の長さがそれぞれ3cm,3cm,3√3cmの三角形

解答は最後にまとめています。

有名な直角三角形（覚えておくと便利！）

三平方の定理を極めたぜ～！！計算しまくってどんどん解いていくぜ！！

いいですね～。どんどん解いていきましょう！
ところで、できることなら楽に解きたくないですか？

そりゃそうだよ。でもどうせそんな方法ないんでしょ！そんな甘い罠には引っかからないぞ！！

残念ながら（？）今回ばかりは楽する方法がありますよ。でも楽するためには少し苦難があります（笑）。

。。。。やっぱり罠じゃないか！！

つぎに示す三角形の辺の長さの比を全て覚えておいて下さい。あと1と2は角度も覚えておいてくださいね。

多いよ～。

大変だと思いますが、覚えておくと問題を解くのが楽になります。
もちろん覚えなくても問題は解けます。
しかし覚えておくだけで「計算ミスを減らす」「回答時間を短縮する」「直角三角形を瞬時に見つける」ということでいいことづくめです。

普段は積極的に覚えようとすることを推奨しませんが、ここだけは頑張って覚えてもらいたい部分です。

＜例題３＞次のxとyを求めよ。

解答は最後にまとめています。

三平方の定理の証明

一個質問があるんだけどいい？

もちろん。何でしょうか？

これまで三平方の定理の公式に当てはめて解いてきたけど、そもそもなんで三平方の定理っていうものが成り立つの？？

おぉ～。公式の成り立ちに疑問を持ちましたか。素晴らしいですね。では三平方の定理が成り立つことの証明をしましょう。

＜証明＞
まず、直角三角形を用意します。

次に、この三角形を4つ下の図のように並べます。

一辺がa+bの正方形と一辺がcの正方形と最初に用意した三角形が見えますね。
ここで、各図形の面積を考えると次のような関係であることが言えます。

この関係を数式で表して計算していきます。

以上で三平方の定理が導けました。

どうでしょう？納得できましたか？

ばっちり分かりました！これで安心して三平方の定理を使えるよ！

実は三平方の定理の証明の仕方は他にもたくさんあります。中学生の学習範囲で説明できるものも多くあるので、興味があれば調べてみるのもいいと思います。

例題の解答・解説

＜例題１＞

公式に当てはめて計算していくのですが、最後にポイントが一つあります。
求めたい値は三角形の辺の長さなので、必ず正の値です。
平方根を求めるときに注意してください。

＜例題２＞

三平方の定理に代入して式が成立するかを考えましょう。
ポイントは最も大きい値を斜辺の部分に代入することです。

＜例題３＞


有名な直角三角形の辺の比を覚えておけば、三平方の定理に代入して解くよりも早く簡単に解けますね。

まとめ

いかがでしたでしょうか。

まずは、三平方の定理を使った計算ができること。そして、次は有名な直角三角形の辺の比を覚えておくこと。
この二つができれば三平方の定理の計算は全問解けます。

実は三平方の定理は単に計算問題だけでなく、平面図形や空間図形で答えを導くための道具として使う場面も多いです。
それはまたの機会に説明しますので、まずは演習編でガンガン問題演習してください。

お疲れさまでした。＾＾